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/ Amiga Collections: Taifun / Taifun 151 (1991-03-10)(Manewaldt, A.)(DE)(PD).zip / Taifun 151 (1991-03-10)(Manewaldt, A.)(DE)(PD).adf / Matheprogramme / Apfel_Julia / Apfel.doc < prev    next >
Text File  |  1991-03-02  |  5KB  |  117 lines
  1. Apfel.doc              Apfelmännchen          (c) 07/87 Reinhard Huppert        
  2. +----------------------------------------------------------------------+
  3. !                                                                      !
  4. !         Eine Hommage an die Königin der Wissenschaften, die          !
  5. !                                                                      !
  6. !                         M A T H E M A T I K                          !
  7. !                                                                      !
  8. +----------------------------------------------------------------------+
  9.  
  10. 1. Was ist ein Apfelmännchen ?
  11.  
  12. 2. Was ist eine JuliaMenge ?
  13.  
  14. 3. Wie funktionieren die Programme ?
  15.  
  16. 4. Wer hat's geschrieben, wo gibt's Infos und die Source ?
  17.  
  18. +----------------------------------------------------------------------+
  19.  
  20. 1. Was ist ein Apfelmännchen ?
  21.  
  22. Apfelmännchen kennt ja nun fast jeder. Es gibt ja -zig Generatoren dafür.
  23. Ich will deshalb auch keinen neuen MandelVroom vorstellen, sondern zeigen,
  24. wie einfach die Mathematik, die dahinter steckt, eigentlich ist. Deshalb
  25. liegt auch der Source-Code (in AmigaBasic (PAL-Version) und C (Aztec 5.0))
  26. bei. Erschreckt nicht ! Die Programme verzichten auf alle Optimierungen,
  27. weil jede Optimierung die Transparenz beeinträchtigt. Sie laufen also etwas
  28. länger. 
  29.  
  30. Was ist nun das besondere an den Apfelmännchen ?
  31.  
  32. Hinter dem Apfelmännchen versteckt sich der Verhulst-Prozess, ein Prozess
  33. in der komplexen ZahlenEbene. Benoit Mandelbrodt hat ihn untersucht. Er
  34. besteht aus der simplen Formel:
  35.  
  36.                               2
  37.                          z = z  + c
  38.  
  39. Wir fangen jetzt mal einfach an und betrachten die einfache Zahlengerade.
  40.  
  41. ...---------+---...----+-----------+----------+---...----+------------...
  42.            -10         -1          0          1          10
  43.  
  44. Wir nehmen einen Punkt raus (z.B. +5) und betrachten seine zeitliche Ent-
  45. wicklung unter dem Verhulst-Prozess z  = z**2 (die Konstante c sei jetzt
  46. mal 0): 5, 25, 625 ... immer größer.  Nun die Zahl -2: -2, 4, 16, 256 ...
  47. auch immer größer. Nun die Zahl 0.5: 0.5, 0.25, 0.125 .... immer kleiner.
  48. nd die Zahl 1 : 1, 1, 1, 1, 1, ....immer gleich 1. D.h., die Zahlen-
  49. gerade besteht aus 3 verschiedenen Gebieten: außen gehen die Punkte unter 
  50. der Wirkung des Prozesses gegen Unendlich, innen gegen Null und auf der 
  51. Grenzlinie bleiben sie konstant 1.
  52.  
  53. Nun betrachten wir die Ebene und einen Kreis um den Nullpunkt. Punkte
  54. außerhalb des Kreises wachsen betragsmäßig wieder gegen Unendlich, Punkte
  55. im Innern streben gegen Null und Punkte auf der Kreislinie bleiben kon-
  56. stant gleich 1.
  57.  
  58. Jetzt gehen wir in die komplexe ZahlenEbene. Auch dort gehen die Punkte
  59. weit außen gegen Unendlich und Punkte nahe bei 0 gegen 0. ABER: eine die  
  60. Grenzlinie zwischen den beiden Gebieten ist nicht mehr eine klare Linie.
  61. Das Gebiet innen heißt Mandelbrodtmenge. Außen heißt es nicht besonders.
  62. Die Grenzlinie ist eine sogenannte fraktale Linie. Sie ist unendlich tief
  63. gefaltet. Aus diesem Grenzgebiet stammen auch all die bunten Bilderchen.
  64.  
  65. Wo kommen aber jetzt die bunten Farben her ? Nun, Punkte, die gegen 0 gehen,
  66. gehen eben gegen 0 und bekommen z.B. die Farbe schwarz. Punkte, die gegen
  67. unendlich streben, streben nun verschieden schnell gegen unendlich. Ab-
  68. hängig von dieser Geschwindigkeit bekommen sie nun ihre Farbe. Dazu legt
  69. man sich eine Iterationsgrenze fest: bei 32 Farben bestimmt man dann z.B.
  70. die Farbe i für Punkte, die nach i Iterationen (also nach i-maligem Anwenden
  71. der Formel z = z **2 + c) über die Iterationsgrenze wachsen. Zusammenhängen-
  72. de Gebiete gleicher Farbe enthalten also Punkte, die unter der Wirkung des
  73. Prozesses ähnlich schnell gegen unendlich streben.
  74.  
  75.  
  76. +----------------------------------------------------------------------+
  77.  
  78.  
  79. 2. Was ist eine JuliaMenge?
  80.  
  81.  
  82. Die JuliaMenge beschreibt nun genau den gleichen Prozess, nur unter anderen
  83. Gesichtspunkten. Das Apfelmännchen entsteht, wenn man die Konstante c, die
  84. immer dazu addiert wird, festhält und die Punkte der komplexen ZahlenEbene
  85. unter dem Prozess betrachtet. Die JuliaMenge entsteht, wenn man sich einen
  86. Punkt der komplexen ZahlenEbene herausnimmmt und seine Entwicklung abhäng-
  87. ig von der Konstanten c betrachtet. Hier wird also der Realteil von c
  88. gegen den Imaginärteil von c aufgetragen.
  89.  
  90.  
  91. +----------------------------------------------------------------------+
  92.  
  93. 3. Wie funktionieren die Programme ?
  94.  
  95. Das Programm Apfel malt das GrundApfelmännchen und das Programm Julia
  96. eine Standard-JuliaMenge. Julia gibt es nur in AmigaBasic. 
  97.  
  98. Die Bilder sind IFF-Bilder. Man kann sie mit ShowPic ansehen.
  99.  
  100. +----------------------------------------------------------------------+
  101.  
  102.  
  103. 4. Wer hat's geschrieben, wo gibt's Infos und die Source ?
  104.  
  105. MandelbrodtBilder angucken ist eine Sache, es selber zu programmieren eine
  106. andere.
  107.  
  108. Geschrieben hat's ein USER der M-Box (0621 / 801685), ein treuer Vasall
  109. der o.g. Königin:
  110.  
  111.                         Reinhard Huppert
  112.                         Sommergasse 3
  113.                         6940 Weinheim
  114.  
  115. Wenn Ihr Infos oder die C-Source haben wollt, könnt Ihr mir schreiben.
  116.  
  117.